OI计数入门4个计数原理配4道小例题讲清组合数学【免费下载链接】OI-wiki:star2: Wiki of OI / ICPC for everyone. 某大型游戏线上攻略内含炫酷算术魔法项目地址: https://gitcode.com/GitHub_Trending/oi/OI-wiki从 5 种口味里挑 3 个冰淇淋先别急着报数——这是组合数学里最典型的一道计数题。OI 里的计数原理说白了就是按规则不重不漏地数方案。本篇配合 OI-wiki 的排列组合章节用 4 个小场景把常用工具一次带齐。分类还是分步先问对问题5 种零食、4 款饮料、3 种甜品各选一样带出门共 $5\times4\times360$ 种。三步都要完成各步方案数相乘这就是乘法原理。反过来若只是零食、饮料、甜品任选其一答案是 $54312$互不重叠的几类做法直接相加即加法原理。加法原理乘法原理适用几类做法做其中一类即完成几个步骤全部走完才算完成操作各类方案数求和各步方案数连乘反例把选零食再选饮料当成两类相加得 9✗把三选一连乘成 60✗先拿笔验证一下 60 和 12两行心算就够别翻答案。排列和组合怎么区分从 5 人里选 2 人若一人当正、一人当副先占坑的人有 5 种选法第二人有 4 种共 $A_5^2 20$ 种若只是选 2 名值日生AB 和 BA 算同一种把每组的 $2!$ 个重复排列除掉得 $\binom{5}{2} 10$。区分口诀在意顺序用排列只看人选用组合。公式上 $A_n^m \dfrac{n!}{(n-m)!}$$\dbinom{n}{m} \dfrac{A_n^m}{m!}$后者的再除一个 $m!$正是用来抹平顺序带来的重复细节可看 docs/math/combinatorics/combination.md。插板法三步走相同的球与不同的坑现在换成相同物品5 颗一样的糖分给 3 个孩子每人至少 1 颗。把 5 颗糖排成一排中间有 4 道空隙挑 2 道放挡板就把队伍切成 3 段——第几段多长就是第几个孩子拿几颗答案 $\binom{4}{2}6$。允许有人空手呢先在每人手里借放 1 颗共 8 颗插完板再还回去得 $\binom{7}{2}21$。每人保底数还各不相同先把保底量扣掉再按非负版处理。三步摆成一排 → 数空隙 → 放挡板。不能的题容斥原理入门小例从 1 到 20 里数不能被 2 或 3 整除的整数直接数容易漏先放宽——被 2 整除的有 10 个被 3 整除的有 6 个从 20 里直接减会扣重所以同时被 6 整除的 3 个要加回来$20-10-637$。先多算再扣回这就是容斥原理入门的完整循环完整推导见 docs/math/combinatorics/inclusion-exclusion-principle.md。容斥原理专门对付带不能、不允许的限制条件。插板法与组合数把不定方程的整数解计数变成选位置。分拆与 Ferrers 图把整数拆成正整数之和的计数点阵图一目了然。卡特兰数括号配对、出栈序列这类不越界计数后面会反复撞上。【免费下载链接】OI-wiki:star2: Wiki of OI / ICPC for everyone. 某大型游戏线上攻略内含炫酷算术魔法项目地址: https://gitcode.com/GitHub_Trending/oi/OI-wiki创作声明：本文部分内容由AI辅助生成（AIGC），仅供参考
OI计数入门：4个计数原理配4道小例题讲清组合数学
OI计数入门4个计数原理配4道小例题讲清组合数学【免费下载链接】OI-wiki:star2: Wiki of OI / ICPC for everyone. 某大型游戏线上攻略内含炫酷算术魔法项目地址: https://gitcode.com/GitHub_Trending/oi/OI-wiki从 5 种口味里挑 3 个冰淇淋先别急着报数——这是组合数学里最典型的一道计数题。OI 里的计数原理说白了就是按规则不重不漏地数方案。本篇配合 OI-wiki 的排列组合章节用 4 个小场景把常用工具一次带齐。分类还是分步先问对问题5 种零食、4 款饮料、3 种甜品各选一样带出门共 $5\times4\times360$ 种。三步都要完成各步方案数相乘这就是乘法原理。反过来若只是零食、饮料、甜品任选其一答案是 $54312$互不重叠的几类做法直接相加即加法原理。加法原理乘法原理适用几类做法做其中一类即完成几个步骤全部走完才算完成操作各类方案数求和各步方案数连乘反例把选零食再选饮料当成两类相加得 9✗把三选一连乘成 60✗先拿笔验证一下 60 和 12两行心算就够别翻答案。排列和组合怎么区分从 5 人里选 2 人若一人当正、一人当副先占坑的人有 5 种选法第二人有 4 种共 $A_5^2 20$ 种若只是选 2 名值日生AB 和 BA 算同一种把每组的 $2!$ 个重复排列除掉得 $\binom{5}{2} 10$。区分口诀在意顺序用排列只看人选用组合。公式上 $A_n^m \dfrac{n!}{(n-m)!}$$\dbinom{n}{m} \dfrac{A_n^m}{m!}$后者的再除一个 $m!$正是用来抹平顺序带来的重复细节可看 docs/math/combinatorics/combination.md。插板法三步走相同的球与不同的坑现在换成相同物品5 颗一样的糖分给 3 个孩子每人至少 1 颗。把 5 颗糖排成一排中间有 4 道空隙挑 2 道放挡板就把队伍切成 3 段——第几段多长就是第几个孩子拿几颗答案 $\binom{4}{2}6$。允许有人空手呢先在每人手里借放 1 颗共 8 颗插完板再还回去得 $\binom{7}{2}21$。每人保底数还各不相同先把保底量扣掉再按非负版处理。三步摆成一排 → 数空隙 → 放挡板。不能的题容斥原理入门小例从 1 到 20 里数不能被 2 或 3 整除的整数直接数容易漏先放宽——被 2 整除的有 10 个被 3 整除的有 6 个从 20 里直接减会扣重所以同时被 6 整除的 3 个要加回来$20-10-637$。先多算再扣回这就是容斥原理入门的完整循环完整推导见 docs/math/combinatorics/inclusion-exclusion-principle.md。容斥原理专门对付带不能、不允许的限制条件。插板法与组合数把不定方程的整数解计数变成选位置。分拆与 Ferrers 图把整数拆成正整数之和的计数点阵图一目了然。卡特兰数括号配对、出栈序列这类不越界计数后面会反复撞上。【免费下载链接】OI-wiki:star2: Wiki of OI / ICPC for everyone. 某大型游戏线上攻略内含炫酷算术魔法项目地址: https://gitcode.com/GitHub_Trending/oi/OI-wiki创作声明：本文部分内容由AI辅助生成（AIGC），仅供参考
